المنحني الطبيعي المعياري - بخصائصه معرب-

المنحنى الطبيعي المعياري

يعتمد على العلامات المعيارية
الوسط الحسابي يتخذ قيم مختلفة حسب العلامات المعيارية
الانحراف المعياري يتخذ قيم مختلفة حسب العلامات المعيارية

بعض الحقائق عن المنحنى الطبيعي

الغرض : قليلا من مزيد من التوضيح حول المنحنى الطبيعي وكيفية العمل معها.

وكما ورد في النص ، ونظرا لمنحنى طبيعي في المعادلة التالية :

ليس لدينا للعمل مباشرة مع هذه الوظيفة في كثير من الأحيان ، لذلك نحن بحاجة فقط لمعرفة عدد قليل من خصائصه الأساسية من قبل أحد التدريبات فئة ، 11.4.2 :

قيم الدالة كلها> 0.
الرسم البياني لهذه الدالة متماثل حول محور ذ ؛
وهكذا ف (س) = و (س) لجميع X.
قيمة و (خ) لتصبح صغيرة جدا عندما ينمو العاشر كبيرة جدا.
ويظهر الرسم البياني للدالة في الشكل 1 أدناه.

الشكل 1 : منحنى طبيعي

بحكم التعريف ، وتوزع عادة متغير عشوائي إذا توزيعه احتمال يشبه المنحنى الطبيعي ، تحول مناسبة وإعادة تحجيمها. على النحو التالي :

يتم إزاحة المنحنى بحيث منتصفه يتوافق مع متوسط متغير عشوائي لدينا ،
ويمتد بحيث 1 وحدة المسافة من المنحنى المعياري العادي يتوافق مع الانحراف المعياري للمتغير العشوائي لدينا ، و
يتم ضبط المقياس العمودي بحيث المساحة الإجمالية لا تزال تساوي 1.

ليس لدينا للعمل مباشرة مع المعادلة هنا! بدلا من ذلك ، لدينا فقط استخدام الجدول 11.6 في الفصل 11 من النص (في 254 صفحة في إصدار 17 يوليو 2001 ،) للعثور على المنطقة تحت المنحنى بين الاثنين الموافق القيم زي. ذلك ، في الشكل 1 أعلاه ، ومنطقة في منطقة مظللة الصفراء يجب أن تكون (z2) -- ألف (Z1). هذا المجال (يجري عددا بين 0 و 1) يخبرنا نسبة التوزيع الاحتمالي لدينا -- أو عدد السكان -- والتي تبلغ قيمة المتغير العشوائي داخل النطاق المحدد. سنوضح أدناه كيفية القيام بذلك في بعض الحالات واجه كثير من الأحيان.

زوجان من instances.In § 11،5 ، وسنرى أن نتائج عملية التجارب المستقلة -- وكرر عدد كبير من الأوقات -- تقريبا موزعة بشكل عادي. درجات معدل الذكاء تقديم مثال آخر ، كما هو مبين في الشكل 2 أدناه.

الشكل 2 : توزيع درجات معدل الذكاء

هذا المثال يوضح حقيقة أن إعادة تحجيم "غير مرئي تقريبا". وهي الانحراف المعياري هو 20 ، وبالتالي فإن الفرق بين 120 ويعني (= 100) هو بالضبط 1 وحدة الانحراف المعياري. ولذلك المجال -- المظللة في أرجواني في الشكل 2 -- بين القيم المناظرة زي (ض = ض = 0 و 1) وألف (1) = 0.34. ومن ثم ، 34 ٪ من السكان درجات معدل الذكاء في هذا النطاق.

العمل مع التوزيع الطبيعي

الجزء الأول : تحديد نسبة مئوية من السكان عندما يتم إعطاء مجموعة من عشرات

العثور على المنطقة للحق معين [الإيجابية] ض القيمة. على سبيل المثال ، هذا هو الوضع إذا كنا إعطاء بعض نقاط اختبار فوق المتوسط ونريد أن نجد ما هي النسبة المئوية للشعب اتخاذ اختبار كان عشرات فوق هذا المستوى.

على سبيل المثال رقمية محددة ، لنفترض أنه في اختبار مع متوسط 73 والانحراف المعياري 6 ، نريد أن نعرف كيف ما هي النسبة المئوية للطلاب وكان عشرات من 80 أو أعلى. (وهذا هو مثل المناقشة في أسفل الصفحة 253 أو النص.) لذا فإن هناك 3 الخطوات التالية :
العثور على زي القيمة. ونحن نعمل مع 79،5 بدلا من 80 ، يعني طرح من هذه القيمة ، ومن ثم القسمة على الانحراف المعياري :
ض = = = 1،083.

بحث عن قيمة جدول (ض) في. نحن جولة قبالة إلى الياء = 1،1 ثم ابحث في :
ألف (1،1) = 0.3643.
وهذا يعطي مجالا للمظللة بخطوط حمراء في الرسم التخطيطي.

طرح من 0،5 إلى البحث عن منطقة الذيل الأيمن للتوزيع. على النحو التالي :
0،5 -- ألف (1،1) = ،5-0،3643 = 0.1357.
غير المظللة هذا المجال مع الأخضر في الرسم التخطيطي.

وهكذا ، حوالى 13،6 ٪ من الطلبة لديهم العشرات من 80 أو أعلى.

الرقم 3 : (ض) ومنطقة "ذيل"

العثور على منطقة تقع على بعد مسافة معينة من الوسط. قدمت معلومات لدينا حول الذكاء ، لنفترض إننا نريد أن نعرف ما هي النسبة المئوية من الناس لديهم معدل الذكاء نقاط بين 75 و 125 ، ضمنا. على افتراض أن لدينا عشرات تأخذ فقط القيم صحيح ، ونحن نعمل مع 125،5 74،5 وعند العثور على المقابلة ض القيم.
عن نقاط من 125،5 ، نحصل على :
ض = = = 1،275.

لبرصيد 76،5 ، وهي عملية حسابية مشابهة يعطي ض = -1،275.

العمل مع قيمة إيجابية ، ونحن جولة قبالة إلى الياء = 1،3 وننظر في الجدول للعثور على :
ألف (1،3) = 0.4032.
وهذا يعطي مجالا للمظللة مع خطوط خضراء في الشكل 4.

من التماثل في الرسم البياني ، في منطقة تقع على الجانب الآخر (مع خطوط برتقالية) وأيضا منطقة = 0،4032. [لاحظ أن قيمة ض على الجانب الآخر هو بالضبط السلبية لأحد أن ننظر فقط في] لذا ، فإن المساحة الإجمالية المظللة هي :
0،4032 + 0،4032 = 0،8064.

وهكذا ، حوالى 80،6 ٪ من الناس لديهم درجات معدل الذكاء بين 75 و 125 ، ضمنا.

الرقم 4 : منطقة تقع على بعد مسافة معينة من الوسط

العثور على المنطقة على يسار معين [الإيجابية] ض القيمة. ومرة أخرى ، سنقوم مع توضيح هذا مثال محدد. لذا ، دعونا نفترض أن اتخذت من 1000 طالب في امتحان ، حيث 100 نقاط هي الدرجة القصوى ، ويعني هو 73 ، والانحراف المعياري هو 5. سوف نسأل كم عدد الطلاب كان عشرات من 80 أو أقل.
العثور على زي القيمة ، ونحن نعمل مع 80،5 ، وبما أن هذا "تقسيم الفرق" بين 80 و 81. هنا حساباتنا :
ض = = = 1،5.

كالعادة ، ونحن نتطلع في الجدول 11،6 لايجاد (ض) :
ألف (1،5) = 0.4332.
وهذا يعطي مجالا للمظللة مع خطوط خضراء في الشكل 5 الموافق عشرات التي
فوق المتوسط ولكن أقل من قيمة وأشار زي.

للعثور على مساحة إجمالية المظللة ، لدينا لإضافة منطقة إلى يسار نقطة الوسط -- مظللة باللون الفيروزي في الشكل 5. منذ نصف بالضبط في المنطقة بأسرها تحت المنحنى الطبيعي ، وهذه المنطقة هي = 0،5. وبالتالي ، فإن إجمالي مساحة مظللة هو :
0،5 + 0،4332 =.9332.

نخلص إلى أن 933 من الطلاب 1000 وكان عشرات اختبار من 80 أو أقل.

الشكل 5 : المنطقة على يسار معطى إيجابي قيمة زي

الجزء الثاني : تحديد مجموعة من النقاط عندما تعطى النسبة المئوية للسكان

كل هذه المشاكل "معكوس" لمشكلة مماثلة في الجزء الأول وهكذا ، في الجزء 1 ونحن أعطيت مجموعة من عشرات المطلوبين والعثور على النسبة المئوية للسكان الذين العشرات في هذا النطاق. من ناحية الجدول 11،6 ، وهذا يعني أننا حساب ض ثم نظرت ألف (ض). هنا ، يتم تشغيل هذا الوضع. نحن أعطينا نسبة مئوية من السكان ، ونريد أن نجد ما مدى عشرات يتوافق عليه. لذا ، نبدأ في معرفة قيمة للنظر (ض) ثم في الجدول للعثور على قيمة ض الذي يتوافق أكثر ارتباطا وثيقا.

العثور على [الإيجابية] ض قيمة هذه أن هناك نسبة معينة من المنطقة تحت المنحنى الطبيعي تقع إلى اليمين من تلك القيمة. (وهذا السؤال لا معنى له إلا إذا كانت نسبة مئوية معينة من <50 ٪).

هذا هو معكوس لمناقشة المشكلة في الجزء ألف ، بحيث يمكنك الرجوع إلى نفس الرقم. في الجزء ألف اعطيت لنا ض القيمة ، وبدا ذلك ونحن في قيمة (ض) ثم تطرح عليه من 0،5 للحصول على منطقة الذيل -- أظهرت مع ضوء أخضر [صلبة] التظليل في الشكل. هنا ، هي أننا قدمنا للمنطقة الذيل ، لذلك نحن نفذ الخطوات بالترتيب العكسي ، وهي :
طرح من 0،5 للحصول على منطقة تحت منحنى طبيعية بين منتصف (ض = 0) والخط الأفقي المقابلة ل[لا يزال غير معروف] ض القيمة. هذا الرقم هو قيمة (ض) أن علينا أن نعمل مع.
ونحن الآن "قراءة جدول الوراء" للعثور على سعى من أجل قيمة زي. وهكذا ، فإننا ننظر في العمود الأيمن من الجدول 11،6 إلى البحث عن الرقم الذي أقرب ما يكون إلى قيمة (ض) أن تحسب فقط نحن. لدينا ض القيمة على نفس السطر في العمود الأيسر من الجدول. لتحسين دقة ، إذا كانت القيمة لدينا ألف (ض) تقع في منتصف المسافة تقريبا بين اثنين من الإدخالات في العمود الأيمن من الجدول 11،6 ، ثم يمكننا تقسيم الفرق بين الاثنين الموافق القيم زي.

على سبيل المثال : دعونا نحدد ض قيمة هذه أن 10 ٪ من السكان عشرات أعلاه تلك القيمة. وهذا يعني أن علينا أن نلقي (ض) = 0،5-0،1 = 0،4. يبحث في الجدول ، والقيمة هي الأقرب (ض) = 0.4032 ، وهذا يتوافق مع 1،3 = ض. مشكلة في تطبيقه ، لا يزال لدينا لتوسيع نطاق وإعادة التحول. على سبيل المثال في حالة درجات معدل الذكاء ، ويعني = 100 والتنمية المستدامة = 20 ، وهو ض قيمة 1،3 يناظر على درجة الذكاء الذي هو 1،3 القيود : 20 = 26 نقطة فوق المتوسط ، وبالتالي بنتيجة 26 + 100 = 126.

العثور على [الإيجابية] ض قيمة هذه أن هناك نسبة معينة من المنطقة تحت المنحنى الطبيعي يقع ضمن وحدات ض الانحراف المعياري للمتوسط.
هذا هو معكوس لمناقشة المشكلة في الجزء باء ، بحيث يمكنك الرجوع إلى نفس الرقم. في الجزء باء اعطيت لنا ض القيمة ، وبدا ذلك ونحن في قيمة (ض) وتضاعفت بعد ذلك 2 للحصول على منطقة تحت الجزء الأوسط من منحنى الجرس -- كما هو مبين مجموع اثنين المظللة المناطق في الشكل. هنا ، هي أننا قدمنا للمنطقة من الجزء الأوسط متماثل ، بحيث يكون لدينا على عكس ترتيب الخطوات وبديل مناسب شعبة الضرب. على النحو التالي :
تقسيم منطقة معينة متماثل من 2 ، من أجل البحث عن قيمة (ض).
ابحث عن هذه القيمة في العمود الأيمن من الجدول 11،6. جوابنا هو ثم زد قيمة على نفس السطر من الجدول. على سبيل المثال ، لنفترض أننا نريد أن تحديد درجات معدل الذكاء اللذين يميزان الأوسط 2 / 3 من السكان. ثم نلقي (ض) = 1 / 3 (= 2 / 3. 1 / 2). يبحث في الجدول ، وهما الأقرب القيم 0،3159 0،3413 و. هذه تتوافق مع 0،9 = ض = ض و 1،0 على التوالي. تبعا لذلك ، وجوابنا هو في منتصف الطريق تقريبا بين ويقابل بالتالي 0،95 = ض. النطاق الفعلي هو بين 19 نقطة (0.95 = 20 ° م) أقل من المتوسط و 19 نقاط عن أي يعني أن درجات معدل الذكاء بين 81 و 119.

العثور على [الإيجابية] ض قيمة هذه أن هناك نسبة معينة من المنطقة تحت المنحنى الطبيعي تقع إلى اليسار من هذه القيمة. (وهذا السؤال لا معنى له إلا إذا كانت نسبة مئوية معينة هو> 50 ٪).

نظرة على هذا الرقم في الجزء جيم للمساعدة في فهم هذه القضية. لدينا لطرح 0،5 من منطقتنا نظرا لإيجاد قيمة (ض) للعمل مع. على سبيل المثال ، إذا كنا نريد للعثور على نقاط المقابلة لpercetile 85 ، ثم نلقي (ض) = 0،85-،5 = 0.35. (وغيرها ، قياسا على حالات أخرى...) (ض) = 0،85-،5 = 0.35. (وغيرها ، قياسا على حالات أخرى...) ، قياسا على حالات أخرى...)

» خصائص المنحنى الطبيعي المعتدل